viernes, 30 de julio de 2010

PUNTO, RECTA Y PLANO

No es posible definirlos porque son los primeros términos que aparecen en esta ciencia. No hay otros anteriores a los que recurrir, no se pueden referir a otros más sencillos. Es por eso que se los llama TÉRMINOS PRIMITIVOS, no se definen, se aceptan sin definir. Como no podemos decir lo que son, los describimos estableciendo cómo se relacionan entre sí.


Cada partícula de polvo que percibimos cuando un rayo de luz entra por la ventana, la trayectoria de ese rayo, cada pared del aula, sugieren respectivamente la idea de punto, recta y plano.

Todas las figuras geométricas son modelos o esquemas simplificados que surgen sobre la base de objetos reales.
Punto, recta y plano, son ideas que existen sólo en nuestra mente. Los esquemas a continuación son sólo representaciones de ellos.


AXIOMAS DE ENLACE

AXIOMA 1: Dos puntos distintos determinan una única recta a la que pertenecen.

AXIOMA 2: Existen infinitos puntos.

AXIOMA 3: Dada una recta existen infinitos puntos que no pertenecen a ella.

TEOREMA: "Existe más de una recta."
Demostración:
Por axioma 2 existen infinitos puntos. De los infinitos puntos, tomamos dos P y Q, pero por axioma 3 existen infinitos puntos que no pertenecen a r, tomamos dos R y S, luego por axioma 1 pasa una única recta s, distinta de r, pues si fueran iguales los puntos R y S pertenecerían a r, contrariamente a lo considerado.

TEOREMA: "Dos rectas distintas tienen a lo sumo un punto en común."
Demostración: (por el absurdo)
Supongamos que tuvieran más de un punto en común, que implica decir por lo menos dos, sean P y Q, entonces P y Q pertenecen a r y pertenecen a s, pero P y Q determinan una recta y solo una (axioma 1), contrariamente aquí serán dos. El absurdo proviene de suponer que tienen más de un punto en común. Luego tiene a lo sumo uno.

TEOREMA: "Por un punto pasan al menos dos rectas distintas."
Demostración:
Sea P un punto, como existen infinitos, tomamos Q distinto de P, P y Q determinan una única recta, luego ya pasa una que llamamos r, pero fuera de r existen infinitos puntos, tomamos R, luego P y R determinan una recta s, distinta de r, ya que si no fuera así R pertenecería a r, entonces por P pasan r y s distintas.

PLANO

Introducimos al concepto de plano, a través de otros axiomas:

AXIOMA 4: Tres puntos no alineados determinan un único plano al cual pertenecen.

AXIOMA 5: Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los otros también lo están.

De ellos se deducen los siguientes teoremas.

TEOREMA: "Una recta y un punto determinan un plano, que pasa por ellos. Solo un plano pasa por el punto dado y dos puntos de la recta (Axioma 4), el cuál contiene a toda la recta (Axioma 5)."

TEOREMA: "Dos rectas que se cortan determinan un plano que las contiene."
Demostración:
Siendo N y M dos puntos no alineados, determinan una recta r. Existe otro punto R que no pertenece a la recta r, alineado a N y no alineado a M, determinan la recta s que pasa por los puntos R y N. Luego, tres puntos no alineados M, N y R que determinan un plano. Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que determinan esta totalmente incluida en el plano.

RECTAS COPLANARES: Si dadas dos rectas, existe un plano que las contiene a ambas.

RECTAS ALABEADAS: Si dadas dos rectas, no existe un plano que las contenga a ambas.

TEOREMA: "Dos rectas secantes son coplanares."

AXIOMAS DE ORDEN

Fijado un punto cualquiera de una recta habrá infinitos puntos que le preceden e infinitos que le siguen, además entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos.
Enunciamos:

AXIOMA 6: La RECTA es un conjunto linealmente ordenado, abierto y denso de puntos.

Definimos en base a este axioma:

SEMIRRECTA: Es el conjunto definido por un punto de una recta y todos los que le preceden o siguen.
Cada punto de una recta determina en ella dos semirrectas, llamadas opuestas. El punto en cuestión se llama origen y luego otro punto cualquiera de la semirrecta.

SEGMENTO

Es el conjunto formado por dos puntos de una recta y todos los situados entre ambos.

Los puntos en cuestión se llaman extremos del segmento. Ellos determinan el segmento que se designa AB.

También suele definirse al segmento como la intersección de dos semirrectas.





SEMIPLANOS

Del mismo modo que un punto divide a una recta en dos regiones, la intuición nos dice que toda recta divide también al plano en dos regiones separadas, de acuerdo al siguiente axioma:

AXIOMA 7: Toda recta establece una clasificación de los puntos del plano no contenidos en ella en dos únicas clases de regiones tales que: todo punto exterior pertenece a una u otra región y el segmento que une dos puntos de la misma (distinta) región no corta (corta) a la recta.

Definimos entonces:

Dada una recta r en el plano, el conjunto de los puntos de cada una de las regiones en que divide al plano se llama semiplano. A la recta r se la llama borde del semiplano. Para indicarlo usamos el borde y un punto que no pertenezca a él.



Spl (r,P) se lee semiplano de borde r que contiene a P

ÁNGULO CONVEXO

Dadas dos semirrectas de origen AB y BC, llamamos ÁNGULO CONVEXO ABC a la INTERSECCIÓN del semiplano de borde BA que contiene a C y el semiplano de borde BC que contiene a A.