tag:blogger.com,1999:blog-55574089317097772242024-03-13T15:16:06.344-07:00Algunas consideraciones previasIsabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.comBlogger8125tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-82993257437759937822010-07-30T17:40:00.000-07:002010-08-01T21:10:19.130-07:00PUNTO, RECTA Y PLANONo es posible definirlos porque son los primeros términos que aparecen en esta ciencia. No hay otros anteriores a los que recurrir, no se pueden referir a otros más sencillos. Es por eso que se los llama <em><span id="SPELLING_ERROR_0" class="blsp-spelling-corrected">TÉRMINOS</span> PRIMITIVOS</em>, no se definen, se aceptan sin definir. Como no podemos decir lo que son, los describimos <span id="SPELLING_ERROR_1" class="blsp-spelling-corrected">estableciendo</span> cómo se relacionan entre sí.<br /><br /><br />Cada partícula de polvo que percibimos cuando un rayo de luz entra por la ventana, la trayectoria de ese rayo, cada pared del aula, sugieren <span id="SPELLING_ERROR_2" class="blsp-spelling-error">respectivamente</span> la idea de <strong>punto, recta y plano.<br /></strong><br />Todas las figuras geométricas son modelos o esquemas <span id="SPELLING_ERROR_3" class="blsp-spelling-error">simplificados</span> que surgen sobre la base de objetos reales.<br />Punto, recta y plano, son ideas que existen sólo en nuestra mente. Los esquemas a continuación son sólo <span id="SPELLING_ERROR_4" class="blsp-spelling-error">representaciones</span> de ellos.<br /><br /><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 200px; DISPLAY: block; HEIGHT: 138px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499866283194351394" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSZyEh1v-qZyMlJzPT7G8iMBGi00HU7Tw9FJgsp_wPUkawqsPG_61gXKr5ctrdxRLG_9ciq-ASS55xRhJGfo1EmC6G7QFR3YTeYf6pzCTJ9mM419td4PEWmy-eSzyZd8iDBiR8tB7HiGyF/s320/punto,+recta+y+plano.jpg" /><br /><object width="480" height="385"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/q_fc-7UeL7E&hl=es_ES&fs=1"><param name="allowFullScreen" value="true"><param name="allowscriptaccess" value="always"><embed src="http://www.youtube.com/v/q_fc-7UeL7E&hl=es_ES&fs=1" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-25215940433092144552010-07-30T17:15:00.001-07:002010-07-30T17:58:23.243-07:00AXIOMAS DE ENLACE<strong>AXIOMA 1:</strong> Dos puntos distintos determinan una única recta a la que pertenecen.<br /><br /><strong>AXIOMA 2:</strong> Existen infinitos puntos.<br /><br /><strong>AXIOMA 3:</strong> Dada una recta existen infinitos puntos que no pertenecen a ella.<br /><br /><strong>TEOREMA:</strong> <em>"Existe más de una recta."</em><br /><strong>Demostración:</strong><br />Por axioma 2 existen infinitos puntos. De los infinitos puntos, tomamos dos P y Q, pero por axioma 3 existen infinitos puntos que no pertenecen a r, tomamos dos R y S, luego por axioma 1 pasa una única recta s, distinta de r, pues si fueran iguales los puntos R y S pertenecerían a r, contrariamente a lo considerado.<br /><br /><strong>TEOREMA</strong>: <em>"Dos rectas distintas tienen a lo sumo un punto en común."</em><br /><strong>Demostración:</strong> (por el absurdo)<br />Supongamos que tuvieran más de un punto en común, que implica decir por lo menos dos, sean P y Q, entonces P y Q pertenecen a r y pertenecen a s, pero P y Q determinan una recta y solo una (axioma 1), contrariamente aquí serán dos. El absurdo proviene de suponer que tienen más de un punto en común. Luego tiene a lo sumo uno.<br /><br /><strong>TEOREMA:</strong> <em>"Por un punto pasan al menos dos rectas distintas."</em><br /><strong>Demostración:</strong><br />Sea P un punto, como existen infinitos, tomamos Q distinto de P, P y Q determinan una única recta, luego ya pasa una que llamamos r, pero fuera de r existen infinitos puntos, tomamos R, luego P y R determinan una recta s, distinta de r, ya que si no fuera así R pertenecería a r, entonces por P pasan r y s distintas.Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-37207419658973340042010-07-30T16:14:00.001-07:002010-07-30T18:00:17.054-07:00PLANOIntroducimos al concepto de plano, a través de otros axiomas:<br /><br /><strong>AXIOMA 4:</strong> Tres puntos no alineados determinan un único plano al cual pertenecen.<br /><br /><strong>AXIOMA 5:</strong> Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los otros también lo están.<br /><br />De ellos se deducen los siguientes teoremas.<br /><br /><strong>TEOREMA:</strong> <em>"Una recta y un punto determinan un plano, que pasa por ellos. Solo un plano pasa por el punto dado y dos puntos de la recta (Axioma 4), el cuál contiene a toda la recta (Axioma 5)."<br /></em><br /><strong>TEOREMA:</strong> <em>"Dos rectas que se cortan determinan un plano que las contiene."</em><br /><strong>Demostración:</strong><br />Siendo N y M dos puntos no alineados, determinan una recta r. Existe otro punto R que no pertenece a la recta r, alineado a N y no alineado a M, determinan la recta s que pasa por los puntos R y N. Luego, tres puntos no alineados M, N y R que determinan un plano. Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que determinan esta totalmente incluida en el plano.<br /><br /><p><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 240px; DISPLAY: block; HEIGHT: 210px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499856339791922466" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsK_fmbPDzDoWv6LiHXehr9rmR4fpjgcJ3TONK1yokhF5yxMXV67FAKZtWStM33Od6F499gay41JqnXhnkCiz5b-wYF4Lg5o_Wm8FcXcmoUljV1HJPlLyGA4Jmv86dMk4KYjSM12iDMzRx/s320/3+puntos+no+alineados.jpg" /><strong>RECTAS COPLANARES:</strong> Si dadas dos rectas, existe un plano que las contiene a ambas.</p><p><strong>RECTAS ALABEADAS:</strong> Si dadas dos rectas, no existe un plano que las contenga a ambas.</p><p><strong>TEOREMA:</strong> <em>"Dos rectas secantes son coplanares."</em><br /></p>Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-36977679440298203342010-07-30T16:03:00.000-07:002010-07-30T18:02:27.106-07:00AXIOMAS DE ORDENFijado un punto cualquiera de una recta habrá infinitos puntos que le preceden e infinitos que le siguen, además entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos.<br />Enunciamos:<br /><br /><strong>AXIOMA 6:</strong> La <em>RECTA</em> es un conjunto linealmente ordenado, abierto y denso de puntos.<br /><br />Definimos en base a este axioma:<br /><br /><strong>SEMIRRECTA:</strong> Es el conjunto definido por un punto de una recta y todos los que le preceden o siguen.<br />Cada punto de una recta determina en ella dos semirrectas, <span id="SPELLING_ERROR_0" class="blsp-spelling-error">llamadas</span> opuestas. El punto en cuestión se llama origen y luego otro punto cualquiera de la semirrecta.<br /><br /><p></p><p><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 256px; DISPLAY: block; HEIGHT: 182px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499841250998770290" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZ-ZHFv1Z6cZDxrXiLwnI0KT0uPgMFDoy6AS9guWAATY8Kq8tZWnrLB_-x7O7NxhsaJM9OHT0E43ZuoiSezHhVL_RzhRxGr8L_2rU7gLS5diA7J_5QxS93SKSE3GUR2q9Zl2nE8O5k7-2b/s320/semirrecta.jpg" /> </p>Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-8505335898301870182010-07-30T15:59:00.000-07:002010-07-30T18:07:37.170-07:00SEGMENTO<div>Es el conjunto formado por dos puntos de una recta y todos los situados entre ambos.<br /><br />Los puntos en cuestión se llaman extremos del segmento. Ellos determinan el segmento que se designa <span id="SPELLING_ERROR_0" class="blsp-spelling-error">AB</span>.<br /></div><p><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 279px; DISPLAY: block; HEIGHT: 181px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499838536565812114" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmq6JGSa-G-HIKts5raz1NPz6NqFGDM_4uMLb_cQ8CjA6Mi4gAP5L7sYfLxARHLbRDkgq1IHBVmXMbdtBag9FZq_R74njNlBYRRwvlyPV2DJ_11snSoQ9umGuNWLBXv8BLZh-UZfiPPFvU/s320/seg.jpg" /> También suele definirse al segmento como la intersección de dos semirrectas.</p><br /><br /><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 245px; DISPLAY: block; HEIGHT: 55px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499870310472177218" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJwSl9EeXbM-clWnJJNLv1AZbowvWREatnJg5xLKr4GAt5g-CU0Cq8KnRvOqofshRL0PomjBGDV7QmiGWD8FdckxNaSMbcisxpicFNo_31rXJc2hspB61ZAwBhyzBeeHNzsTpp3f0HJ664/s320/segmento+intersecci%C3%B3n.jpg" /><br /><p><br /></p>Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-47076336013146482742010-07-30T15:34:00.000-07:002010-07-30T18:08:42.105-07:00SEMIPLANOSDel mismo modo que un punto divide a una recta en dos regiones, la intuición nos dice que toda recta divide también al plano en dos regiones separadas, de acuerdo al siguiente axioma:<br /><br /><strong>AXIOMA 7:</strong> Toda recta establece una <span id="SPELLING_ERROR_0" class="blsp-spelling-error">clasificación</span> de los puntos del plano no contenidos en ella en dos únicas clases de regiones tales que: todo punto exterior pertenece a una u otra región y el segmento que une dos puntos de la misma (distinta) región no corta (corta) a la recta.<br /><br />Definimos entonces:<br /><br />Dada una recta r en el plano, el conjunto de los puntos de cada una de las regiones en que divide al plano se llama <span id="SPELLING_ERROR_1" class="blsp-spelling-error">semiplano</span>. A la recta r se la llama borde del <span id="SPELLING_ERROR_2" class="blsp-spelling-error">semiplano</span>. Para indicarlo usamos el borde y un punto que no pertenezca a él.<br /><br /><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 273px; DISPLAY: block; HEIGHT: 184px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499836556706400050" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHxrusj-Q-cBerq0tG7vmr9wsbru7tL8JFsojtWu7ejgpWV9hmp2wlfgxfcu0fPcbITBIbzD18BkLREphjHpU8XgC_uh4ZfXs9D2ncE4t2k3ib7U-wtHSptUmqh_YJCL4_D0PwOut1vyt0/s320/semiplano+y+pto.jpg" /><br /><br /><p align="center"><span id="SPELLING_ERROR_3" class="blsp-spelling-error">Spl</span> (r,P) se lee <span id="SPELLING_ERROR_4" class="blsp-spelling-error">semiplano</span> de borde r que contiene a P</p>Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-62834844681069422862010-07-30T15:10:00.000-07:002010-07-30T18:36:55.565-07:00ÁNGULO CONVEXODadas dos semirrectas de origen <span id="SPELLING_ERROR_0" class="blsp-spelling-error"><span id="SPELLING_ERROR_0" class="blsp-spelling-error">AB</span></span> y <span id="SPELLING_ERROR_1" class="blsp-spelling-error"><span id="SPELLING_ERROR_1" class="blsp-spelling-error">BC</span></span>, llamamos <em>ÁNGULO CONVEXO</em> <span id="SPELLING_ERROR_2" class="blsp-spelling-error"><span id="SPELLING_ERROR_2" class="blsp-spelling-error">ABC</span></span> a la INTERSECCIÓN del <span id="SPELLING_ERROR_3" class="blsp-spelling-error"><span id="SPELLING_ERROR_3" class="blsp-spelling-error">semiplano</span></span> de borde <span id="SPELLING_ERROR_4" class="blsp-spelling-error"><span id="SPELLING_ERROR_4" class="blsp-spelling-error">BA</span></span> que contiene a C y el <span id="SPELLING_ERROR_5" class="blsp-spelling-error"><span id="SPELLING_ERROR_5" class="blsp-spelling-error">semiplano</span></span> de borde <span id="SPELLING_ERROR_6" class="blsp-spelling-error"><span id="SPELLING_ERROR_6" class="blsp-spelling-error">BC</span></span> que contiene a A.<br /><br /><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 320px; DISPLAY: block; HEIGHT: 140px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499878230403342850" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgk8w9qhqWptkYtkFLlEYcldzQRflgCcfEhM8U3AibvJqMzCVo6ZOU40F9AE-PSu32mMPKkDVG1dAfoO0M4Hqcc3Mhf9Eyz4JfEEUV1lKAEp57OvSHLcKUXCqYQH-FGmfBMhg0RmoP_ShGt/s320/interseccion+semiplanos.jpg" />Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5557408931709777224.post-43965664040864100852010-07-01T11:41:00.000-07:002010-07-30T15:29:24.046-07:00ÁNGULO CÓNCAVO<p>Dadas dos semirrectas OA y OB, llamamos ÁNGULO CÓNCAVO COD a la UNIÓN del semiplano de borde OA que contiene a B y el semiplano de borde OB que contiene a A.</p><p><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 264px; DISPLAY: block; HEIGHT: 180px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5499822767060055682" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO780AUuVG_pxjAeDoA1YR923fBCbPi4Ptei8qFZPE7YRuLw6YNe_xtqPMj75bdWEMb8L_y7aw3J-g09Y8q7Yq7Uf0LiiYReZz3qog0d6YC8qeA0EUyquR1LjKwED0yBiMw8PeqH6HTTlP/s320/%C3%A1ngulo+c%C3%B3ncavo.gif" /></p>Isabel De Cristofanohttp://www.blogger.com/profile/08391846355317937857noreply@blogger.com0