viernes, 30 de julio de 2010

AXIOMAS DE ENLACE

AXIOMA 1: Dos puntos distintos determinan una única recta a la que pertenecen.

AXIOMA 2: Existen infinitos puntos.

AXIOMA 3: Dada una recta existen infinitos puntos que no pertenecen a ella.

TEOREMA: "Existe más de una recta."
Demostración:
Por axioma 2 existen infinitos puntos. De los infinitos puntos, tomamos dos P y Q, pero por axioma 3 existen infinitos puntos que no pertenecen a r, tomamos dos R y S, luego por axioma 1 pasa una única recta s, distinta de r, pues si fueran iguales los puntos R y S pertenecerían a r, contrariamente a lo considerado.

TEOREMA: "Dos rectas distintas tienen a lo sumo un punto en común."
Demostración: (por el absurdo)
Supongamos que tuvieran más de un punto en común, que implica decir por lo menos dos, sean P y Q, entonces P y Q pertenecen a r y pertenecen a s, pero P y Q determinan una recta y solo una (axioma 1), contrariamente aquí serán dos. El absurdo proviene de suponer que tienen más de un punto en común. Luego tiene a lo sumo uno.

TEOREMA: "Por un punto pasan al menos dos rectas distintas."
Demostración:
Sea P un punto, como existen infinitos, tomamos Q distinto de P, P y Q determinan una única recta, luego ya pasa una que llamamos r, pero fuera de r existen infinitos puntos, tomamos R, luego P y R determinan una recta s, distinta de r, ya que si no fuera así R pertenecería a r, entonces por P pasan r y s distintas.

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